Fondements des méthodes numériques

Objectifs

Étudier les grandes familles de méthodes numériques utilisées pour la discrétisation et l’approximation des fonctions, en particulier des solutions d’équations aux dérivées partielles. Le cours aborde ainsi les méthodes de différences finies et d’éléments finis. Il traite aussi des techniques d’approximation utilisant les bases hilbertiennes de type Fourier et ondelettes qui ont des applications importantes en traitement du signal, de l’image et de l’information. D’un point de vue théorique, le cours aborde les espaces de Sobolev construits à partir de l’espace L2 et les notions issues de l’analyse hilbertienne et de l’analyse fonctionnelle nécessaires pour l’analyse des propriétés des méthodes numériques étudiées.

Contenu

1. Introduction
   • Présentation
   • Modélisation par les EDP
   • Quelques solutions explicites
   • Problèmes aux limites du second ordre en dimension 1
   • Quelques rappels sur les matrices
2. Différences finies pour les problèmes aux limites
   • Principe de la méthode
   • Etude de la convergence
   • Une excursion en dimension 2
   • La méthode des différences finies en dimension 2
3. Différences finies pour les problèmes d’évolution
   • Approximation de l’équation de la chaleur
   • Approximation de l’équation de transport
   • Analyse des schémas
4. Formulation variationnelle des problèmes aux limites
   • La formulation variationnelle : d’où vient-elle ?
   • Problèmes variationnels abstraits et espaces de Hilbert
   • Espaces de Sobolev
   • Application au problème aux limites
5. Les méthodes d’approximation variationnelle
   • Définition et premières propriétés
   • Forme matricielle de la méthode de Galerkin
   • Perturbation d’une approximation variationelle
6. La méthode des éléments finis
   • Définition de la méthode dans le cas dit P1
   • Analyse de la convergence dans le cas P1
   • Eléments finis de degré et régularité plus élevés
   • Analyse générale de convergence
   • Compléments
7. Méthodes de bases hilbertiennes
   • Bases hilbertiennes
   • Bases de Fourier
   • Bases polynomiales
   • Bases d’ondelettes