Méthodes classiques pour les EDP et modélisation

M1 - 4MA384

Julien Guillod
20 June 2026

Objectifs

Ce cours aborde l’analyse d’équations emblématiques et fondamentales des grandes classes d’équations aux dérivées partielles (EDP) par des méthodes classiques.

Description

Ces grandes classes d’EDP seront traitées dans des chapitres différents, chacun étant précédé d’une partie de modélisation en une dimension, étendue dans un second temps à plusieurs dimensions.

Le premier chapitre est une introduction sur ce qu’est une EDP, avec beaucoup d’exemples et de stratégies générales de résolution.

Le deuxième chapitre est consacré aux équations de transport avec la résolution par la méthode des caractéristiques, puis l’introduction de la notion de solutions faibles et les problématiques de bord.

Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques, et principalement à celles de Laplace et de Poisson ; les méthodes abordées incluent la représentation via solutions fondamentales, les principes du maximum et la construction de solutions faibles. Le quatrième chapitre traite des équations paraboliques, et principalement de l’équation de la chaleur qui sera étudiée par séries de Fourier, avec des techniques de représentation via solutions fondamentales et principes du maximum. Des équations d’advection-diffusion seront analysées avec la construction de solutions faibles par approximation de Galerkin.

Le dernier chapitre est consacré aux équations des ondes linéaires avec des formules de représentation en 1d, 2d et 3d, la discussion des différences entre les dimensions, la construction de solutions par transformée de Fourier et les méthodes d’énergie.

Prérequis

Notions de base d’analyse réelle, de calcul différentiel et intégral, ainsi que d’équations différentielles ordinaires.

Thèmes abordés

Définition d’une équation aux dérivées partielles et des différents types (linéaires, semi-linéaires, quasi-linéaires), modélisation d’exemples fondamentaux d’équations avec interprétation physique, méthode des caractéristiques, solutions fondamentales, méthodes de représentation, méthodes d’énergie, principes du maximum, régularité, unicité, solutions faibles, approximation de Galerkin.

Contenu

  1. Introduction

    1.1 Qu’est-ce qu’une EDP?

    1.2 Exemples

    • équations linéaires
    • équations semi-linéaires
    • équations quasi-linéaires
    • équations complètement non-linéaire

    1.3. Stratégies de résolution

    • Caractère bien posé et solutions classiques
    • Solutions faibles et régularité
    • Difficultés typiques

    1.4. Plan

  2. Équations de transport

    2.1. Modèles de transport 1d

    • Trafic routier
    • Dynamique des gaz simplifiée

    2.2. Modèles de transport dans $\mathbb{R}^n$

    • Théorème de Liouville
    • Théorème de Reynolds
    • Exemples d’applications pour obtenir des lois de conservation

    2.3. Solutions classiques des équations de transport

    • Solution de l’équation de transport non-conservative
    • Solution avec terme source
    • Solution avec terme de réaction
    • Solution de l’équation de transport semilinéaire
    • Solution de l’équation de transport quasilinéaire

    2.4. Solutions faibles des équations de transport

    • Définition des solutions faibles
    • Équivalence fort-faible
    • Existence des solutions faibles
    • Unicité des solutions faibles

    2.5. Problème avec conditions au bord

  3. Équations de Laplace et Poisson

    3.1. Modèle 1d d’une élastique

    • Élastique attaché
    • Élastique non-attachée

    3.2. Modèle d’une membrane

    3.3. Solutions classiques

    • Solution fondamentale
    • Formule de représentation
    • Fonction de Green
    • Propriétés des fonctions harmoniques

    3.4. Solutions faibles

    • Motivations
    • Espaces de Sobolev
    • Principe général: Théorème de Lax-Milgram
    • Existence de solutions faibles en 1d
    • Existence de solutions faibles en multi-d

  4. Équations de la chaleur

    4.1. Modèle de propagation de la chaleur

    • Équation dans le solide
    • Conditions au bord
    • Adimensionnement

    4.2. Résolution historique

    • série de Fourier

    4.3. Solution fondamentale

    • Symétries
    • Solution fondamentale
    • Formules de représentation

    4.4. Propriétés de l’équation de la chaleur

    • Formule de la moyenne
    • Principe du maximum
    • Régularité

    4.5. Solutions faibles

    • Motivations
    • Espaces de fonctions à valeurs dans un Banach
    • Définition des solutions faibles
    • Existence et unicité des solutions faibles

  5. Équations des ondes

    5.1. Modèle d’une corde vibrante

    5.2. Modèle d’un tambour ou d’un solide élastique

    5.3. Méthode des séries de Fourier sur $[0,L]$

    5.4. Formule de représentation sur $\mathbb{R}$

    5.5. Méthode des moyennes sphériques

    • Cas $n=3$
    • Cas $n=2$
    • Cas $n\geq 4$

    5.6. Méthode de la transformée de Fourier

    5.7. Méthode d’énergie