Topologie et Calcul différentiel

Objectifs

Cet enseignement a pour but de fournir les bases fondamentales de topologie et de calcul différentiel.

Description

Cet cours parcours les grandes notions fondamentales de la topologie, à savoir les espaces topologiques et métriques, les notions de compacité, complétude et connexité, ainsi que les espaces de Banach et de Hilbert; et également les bases du calcul différentiel avec la notion de dérivabilité et les équations différentielles ordinaires.

Contenu

1. Espaces topologiques

   • espace normés, métriques, topologiques
   • fermés, ouverts, voisinages
   • bases, séparabilité
   • axiomes de séparation
   • topologies induite, produit, initiale, finale, quotient

2. Compacité

   • théorème de Tikhonov
   • compactification
   • théorème de Baire

3. Complétude

   • espaces polonais, de Banach, de Hilbert
   • complétion
   • théorème de Baire

4. Connexité

   • connexité et connexité par arc

5. Fonctions continues sur un espace métrique compact

   • théorèmes de Dini et Heine
   • théorème d’Arzelà-Ascoli
   • théorème de Stone-Weierstrass

6. Opérateurs linéaires bornés

   • dualité
   • théorème de Banach-Steinhaus
   • théorème de Hahn-Banach
   • théorème de Banach-Schauder (application ouverte, graphe fermé)
   • algèbres de Banach
   • intégrale de Riemannn

7. Espaces de Hilbert

   • projection
   • théorème de représentation de Riesz
   • bases hilbertiennes,identité de Parseval

8. Dérivation dans les espaces vectoriels normés

   • dérivée, dérivées partielles, gradient
   • inégalité des accroissements finis, jacobienne
   • lemme de Schwarz, formule de Taylor, extrema
   • théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites

9. Équations différentieles ordinaires

   • théorèmes de Cauchy-Lipshitz et de Cauchy-Peano
   • solutions globales et lemme de Grönwall
   • résolvante, formule de Duhamel
   • notion de flot
   • systèmes hamiltoniens
   • stabilité au sens de Lyapunov

10. Ouverture autour de l’équation des ondes nonlinéaire